小说620

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第282章 黎曼定理和萧氏猜想（第1页）

【定理73：设f是一个n维siel模形式，x_f（n）是相应的广义模曲线。那么存在一个自然的galois表示:p_f:gal（q?q）→gl_n（z_?），使得对于任意素数p，frobeni元frob_p在p_f下的特征多项式等于x_f（n）在p处的zeta函数ζ（x_f（n），t）……】

萧易的办公室中，他正在草稿纸上面写下关于阿廷猜想证明的最后几步。

“嗯，这个定理就成功建立了广义模曲线的几何性质与galois表示的算术性质之间的联系。”

“有了这个结果，我总算是可以将阿廷猜想转化为关于galois表示的一个问题了。”

“那么，这个galois表示下的阿廷猜想就是……”

【定理74：设e是一个椭圆曲线，l（s，e）是它的hasse-weill-函数。那么以下两个条件等价:（1）l（s，e）是整个复平面上的全纯函数，并满足一个函数方程；（2）存在一个模形式f，使得e的galois表示p_e与p_f同构。】

萧易的嘴角微微一翘，就仿佛一切尽在他的掌握之中。

到了这一步，他就成功地将阿廷猜想转化为了另外一种形式下的问题。

绝大多数的猜想证明，也基本上都不外如是。

数学家们所需要证明的最终形式，往往都和原来的问题陈述大相径庭，但是，通过对各种数学关系之间的抽丝剥茧，就能够在这个最终形式和猜想本身的描述之间，划上代表了等价关系的符号。

至于问题原来本身的描述，更多也都是为了方便人们的理解。

就比如其他的各种问题，像是冰雹猜想这样，它的描述看起来十分的简单，但是最终证明出来的形式，就并不是本身的那样，而是一个相当复杂的式子。

包括像是安德鲁·怀尔斯所证明的费马大定理，最终的形式也是截然不同的。

因此，随着萧易现在将阿廷猜想进行了转变之后，他只需要证明每个椭圆曲线的galois表示都来自一个模形式就行了。

“那么，定理75，对于任意的椭圆曲线e，存在一个广义模曲线x和一个闭嵌入i:e→x，使得i诱导了galois表示之间的同构:p_e?p_x°i_。”

这个定理75，就是他最后一个需要完成证明的问题了。

同样的，在这里也并没有对他造成任何困难，仅仅只是略微思索了一下，然后，他就彻底完成了自己的结果。

“那么，由定理73，我们知道p_x来自一个siel模形式f，即p_x?p_f。”

“结合这两个结果，我们就有：p_e?p_x°i_?p_f°i_。”

“这表明p_e也来自一个模形式，即f的“拉回“。”

“由定理74，这意味着l（s，e）是整的并满足函数方程。”

“综上所述，阿廷猜想是成立的。”

【证毕。】

在草稿纸上写下了这最后的两个字，萧易也微微一笑。

历经了如今之久的时间，终于，这个阿廷猜想被他成功破解了。

如此一来，他也算是距离黎曼猜想，真正地又近了一步。

不过，在此之前，他还需要根据他现在的结果，导出阿廷猜想的结果中，那个让每个有限维复表示p和它们的l-函数相等的自守表示π，到底是什么样子的。

只有得到了这个式子，他才能够借此开始尝试证明黎曼猜想。

很快，他就成功地将这个全新的自守表示π给推导了出来。

“于是，我们就得到了一个函数方程。”

【l（p_x，s）=e（p_x，s）l（p_xv，k-s）】

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